2013 年考研数学（三） 第 7 题

比较多个正态在同一区间的概率 → 全部标准化为 $\Phi$ 差，再用 $\Phi$ 单调 + 对称比大小。直觉：区间越贴近均值、相对 $\sigma$ 越宽，概率越大；本题 $X_1$ 最集中、$X_3$ 均值最偏，故 $p_1>p_2>p_3$。

本题考查正态分布的标准化与 $\Phi$ 函数比较。 利用 $\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$，把每个概率化成标准正态的 $\Phi$ 表达式再比大小。

$p_1=P\{-2\le X_1\le 2\}=\Phi (2)-\Phi (-2)=2\Phi (2)-1$；
$p_2=P\{-1\le \frac{X_2}{2}\le 1\}=\Phi (1)-\Phi (-1)=2\Phi (1)-1$；
$p_3=P\{-\frac{7}{3}\le \frac{X_3-5}{3}\le -1\}=\Phi (-1)-\Phi (-\frac{7}{3})=\Phi (\frac{7}{3})-\Phi (1)$。

因 $\Phi$ 单调增：$p_1=2\Phi (2)-1$，$p_2=2\Phi (1)-1$，而 $\Phi (2)>\Phi (1)$，故 $p_1>p_2$。又 $p_3=\Phi (\frac{7}{3})-\Phi (1)<\Phi (2)-\Phi (1)$，而 $p_2=\Phi (1)-\Phi (-1)=2[\Phi (1)-\frac{1}{2}]$；逐一比较（查 $\Phi$ 单调性与对称性）得 $p_1>p_2>p_3$。故选 A。