2013 年考研数学（三） 第 6 题

两个矩阵相似求参数，若其一是实对称 → 实对称必可对角化，相似 $\iff$ 特征值相同，代一个已知特征值进 $|\lambda E-A|=0$ 解参数。坑：还要回代确认其余特征值也匹配（本题得 $b$ 任意）。

本题考查实对称矩阵相似于对角阵的判定。 记 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& a& 1\\ a& b& a\\ 1& a& 1\end{array}\right)$（实对称，必可对角化），$B=\mathrm{diag}(2,b,0)$。$A\sim B$ $\iff$ 二者特征值相同 $\iff$ $A$ 的特征值为 $2,b,0$。

$B$ 的特征值显然是 $2,b,0$。要使 $2$ 是 $A$ 的特征值，需 $|2E-A|=\left|\begin{array}{ccc}1& -a& -1\\ -a& 2-b& -a\\ -1& -a& 1\end{array}\right|=-4a^2=0$，得 $a=0$。

当 $a=0$ 时 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& b& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$，其特征值恰为 $2,b,0$（且 $r(A)=r(B)$，由第 1、3 行相同可化为两行），对任意 $b$ 都有 $A\sim B$。故充要条件为 $a=0$、$b$ 任意，选 B。