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2013 年考研数学（三）第 5 题

选择题 · 4 分

设

A, B, C

均为

n

阶矩阵，若

A B = C

，且

B

可逆，则（　　）

A矩阵 $C$ 的行向量组与矩阵 $A$ 的行向量组等价.
B矩阵 $C$ 的列向量组与矩阵 $A$ 的列向量组等价.
C矩阵 $C$ 的行向量组与矩阵 $B$ 的行向量组等价.
D矩阵 $C$ 的列向量组与矩阵 $B$ 的列向量组等价.

提示 1

牢记乘法的列意义：

A B = C

时，

C

的第

j

列

= A

乘

B

的第

j

列

= A

各列的线性组合。

提示 2

由此

C

的列组可由

A

的列组线性表示。

提示 3

再用

B

可逆写出

A = C B^{- 1}

，得到反向表示，从而两列组等价。

答案与详解

答案 B

思路（为什么这么做）

遇到

A B = C

问「谁与谁的向量组等价」→ 用列分块：右乘

B

是对

A

的列做组合，故

C

、

A

列组互表；

B

可逆保证等价（双向表示）。坑：右乘影响的是列组，不是行组。

解答

本题考查矩阵乘积的列向量（分块）意义与向量组等价。 关键口诀：

A B = C

中，

C

的列是

A

的列的线性组合（组合系数取自

B

的对应列）。

记

A = (α_{1}, \dots, α_{n})

，

B = (b_{ij})

，

C = (γ_{1}, \dots, γ_{n})

。由

A B = C

得

γ_{j} = b_{1 j} α_{1} + b_{2 j} α_{2} + \dots + b_{nj} α_{n}

，即

C

的列向量组可由

A

的列向量组线性表示。

又因

B

可逆，

A B = C \Rightarrow A = C B^{- 1}

，同理

A

的列向量组可由

C

的列向量组线性表示。两组互相线性表示，故

C

与

A

的列向量组等价，选 B。（行向量应看

C = A B

中左乘因子，与

A

的行无此等价关系，A、C、D 均不对。）

考点：向量的线性组合与线性表示、矩阵的运算

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