2013 年考研数学（三） 第 4 题

正项数列 + 交错级数/收敛判别辨析题 → 三个错项用反例秒杀（莱布尼茨要「单调且趋 0」，且是充分非必要），正确项常是「$n^p{a}_n$ 有界、$p>1$ $\Rightarrow$ 收敛」的比较判别法。坑：C 中极限可能是 $+\infty$（不算存在）。

本题考查正项级数收敛判别与交错级数（莱布尼茨）条件的辨析。 用「反例排除 + 比较判别法」逐项分析。

A 错：莱布尼茨判别需要 $a_n\downarrow 0$，仅 $a_n>a_{n+1}$ 不含 $a_n\to 0$。取 $a_n=\frac{n+1}{n}$，单调下降但 $\lim a_n=1\ne 0$，故 $\sum (-1{)}^{n-1}{a}_n$ 发散。B 错：交错级数收敛不要求单调，取 $a_n=\frac{1}{n}+\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^2}$，$\sum (-1{)}^{n-1}{a}_n$ 收敛但 $\{a_n\}$ 不单调。

C 错：取 $a_n=\frac{1}{(n+1){\ln }^2(n+1)}$，由积分判别法 $\sum a_n$ 收敛，但对任何 $p>1$，$n^p{a}_n=\frac{n^p}{(n+1){\ln }^2(n+1)}\to +\infty$，极限不存在（为 $+\infty$）。

D 对：设 $\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^p{a}_n=A\ge 0$（$p>1$）。若 $A=0$，则 $n$ 充分大时 $0\le a_n<\frac{1}{n^p}$，由 $\sum \frac{1}{n^p}$（$p>1$）收敛及比较判别法基本形式知 $\sum a_n$ 收敛；若 $A>0$，由比较判别法极限形式，$\sum a_n$ 与 $\sum \frac{1}{n^p}$ 同敛散，故 $\sum a_n$ 收敛。选 D。