2013 年考研数学（三） 第 3 题

二重积分比较大小/判符号，且区域对称 → 先用对称性把「奇」部分归零，再靠被积函数在剩余区域的符号定正负，能省去全部计算。坑：$y-x$ 的对称轴是 $y=x$（不是坐标轴）。

本题考查二重积分的对称性与被积函数符号判断。 关键是分象限观察 $y-x$ 的正负，并利用区域关于直线 $y=x$ 的对称性。

第一象限 $D_1$ 与第三象限 $D_3$ 都关于直线 $y=x$ 对称，而 $y-x$ 是关于该直线的奇函数（交换 $x,y$ 变号），故 $I_1=0$，$I_3=0$。

第二象限 $D_2$ 上 $x<0,y>0$，故 $y-x>0$，从而 $I_2={\iint }_{D_2}(y-x)d\sigma >0$；第四象限 $D_4$ 上 $x>0,y<0$，$y-x<0$，故 $I_4<0$。故只有 $I_2>0$，选 B。