2013 年考研数学（三） 第 2 题

判断可去间断点个数 → 先定位所有分母为零/无定义的点，再逐点求极限：极限存在且有限才是可去。坑：$|x{|}^x$ 要写成 $e^{x\ln |x|}$，且 $x=0$ 需分左右极限验证。

本题考查间断点的分类（可去 / 无穷）。 使分母 $x(x+1)\ln |x|$ 为 $0$ 的点是 $x=-1,0,1$，逐个考察极限：极限存在（有限）即为可去间断点。

$x=-1$：$\underset{x\to -1}{\lim }\frac{|x{|}^x-1}{x(x+1)\ln |x|}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{e^{x\ln (-x)}-1}{x(x+1)\ln (-x)}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x\ln (-x)}{x(x+1)\ln (-x)}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{1}{x+1}=\infty$，是无穷间断点，不是可去间断点。

$x=1$：$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^x-1}{x(x+1)\ln x}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{e^{x\ln x}-1}{x(x+1)\ln x}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x\ln x}{x(x+1)\ln x}=\frac{1}{2}$，极限存在，是可去间断点。

$x=0$：分别算左右极限，$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^x-1}{x(x+1)\ln x}=1$，$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{(-x{)}^x-1}{x(x+1)\ln (-x)}=1$，故 $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=1$ 存在；而 $f(0)$ 无定义，是可去间断点。综上，可去间断点为 $x=0,1$，共 2 个，选 C。