2013 年考研数学（三） 第 1 题

看到「$o(\cdot )$ 的运算等式判对错」→ 一律回到定义：把左边除以右边的幂验证极限是否为 $0$。坑：低阶无穷小与高阶相加只能保留到低阶（$o(x)+o(x^2)=o(x)$，不是 $o(x^2)$）。

本题考查高阶无穷小记号 $o(\cdot )$ 的四则运算。 判断的统一办法：把等式左边除以右边括号内的幂，看极限是否为 $0$（是 $0$ 才成立）。

A：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\cdot o(x^2)}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{o(x^2)}{x^2}=0$，成立。B：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{o(x)\cdot o(x^2)}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{o(x)}{x}\cdot \frac{o(x^2)}{x^2}=0$，成立。C：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{o(x^2)+o(x^2)}{x^2}=0+0=0$，成立。

D：$o(x^2)$ 当然是 $o(x)$，故 $o(x)+o(x^2)$ 只能保证是 $o(x)$，不一定是 $o(x^2)$。反例：取 $x^2=o(x)$，$x^3=o(x^2)$，则 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2+x^3}{x^2}=1\ne 0$，说明 $o(x)+o(x^2)=o(x^2)$ 不成立。故错误的是 D（事实上 $o(x)+o(x^2)=o(x)$）。