2013 年考研数学（三） 第 10 题

隐函数且形如 $(\cdots {)}^x=\cdots$（底、幂都含变量）→ 两边取对数再隐函数求导，最省事。坑：务必先求出该点的 $z$，最后代入；求导时 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 出现在链式项 $\frac{x{z}_x}{z+y}$ 里。

本题考查由方程确定的隐函数求偏导。 先定出对应点 $z$ 值，再两边取对数化简（底、指数都含变量时的常用手法），最后对 $x$ 求偏导。

把 $x=1,y=2$ 代入 $(z+y{)}^x=xy$：$(z+2{)}^1=1\cdot 2=2$，得 $z=0$，即点 $(1,2)$ 对应 $z=0$。

两边取对数：$x\ln (z+y)=\ln x+\ln y$。对 $x$ 求偏导（$y$ 视为常数，$z$ 是 $x,y$ 的函数）：
$\ln (z+y)+x\cdot \frac{\frac{\partial z}{\partial x}}{z+y}=\frac{1}{x}$。

代入 $x=1,y=2,z=0$：$\ln 2+\frac{\frac{\partial z}{\partial x}}{2}=1$，解得 $\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(1,2)}=2-2\ln 2$。