2013 年考研数学（三） 第 11 题

$\int \frac{\ln x}{(1+x{)}^2}dx$ 这类「$\ln$ ÷ 平方」→ 把 $\frac{1}{(1+x{)}^2}$ 凑成 $-d\frac{1}{1+x}$ 分部，$\ln$ 求导降为 $\frac{1}{x}$，再部分分式。坑：反常积分要验证边界项极限（$\frac{\ln x}{1+x}\to 0$）。

本题考查反常积分的计算（分部积分）。 把 $\frac{1}{(1+x{)}^2}dx$ 看作 $-d\left(\frac{1}{1+x}\right)$，对 $\ln x$ 分部。

${\int }_1^{+\infty }\frac{\ln x}{(1+x{)}^2}dx=-{\int }_1^{+\infty }\ln xd\left(\frac{1}{1+x}\right)=-\frac{\ln x}{1+x}{|}_1^{+\infty }+{\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x(1+x)}dx$。

边界项：$x\to +\infty$ 时 $\frac{\ln x}{1+x}\to 0$，$x=1$ 时 $\ln 1=0$，故该项为 $0$。又 $\frac{1}{x(1+x)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{1+x}$，积分得 $\ln \frac{x}{1+x}{|}_1^{+\infty }=\ln 1-\ln \frac{1}{2}=\ln 2$。故原式 $=\ln 2$。