2013 年考研数学（三） 第 12 题

二阶常系数齐次 $a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=0$ → 特征方程 $a{\lambda }^2+b\lambda +c=0$ 的根定通解：两异实根 $e^{{\lambda }_{1}x},e^{{\lambda }_{2}x}$；重根加因子 $x$；复根 $e^{\alpha x}(\cos \beta x,\sin \beta x)$。本题恰为重根 $\frac{1}{2}$。

本题考查二阶常系数齐次线性微分方程的通解。 写出特征方程，按判别式判定根的类型，套对应通解公式。

特征方程 ${\lambda }^2-\lambda +\frac{1}{4}=0$，即 ${\left(\lambda -\frac{1}{2}\right)}^2=0$，得二重根 ${\lambda }_1={\lambda }_2=\frac{1}{2}$。

重根 $\lambda$ 对应通解 $y=(C_1+C_{2}x){\mathrm{e}}^{\lambda x}$，故 $y=(C_1+C_{2}x){\mathrm{e}}^{x/2}$（$C_1,C_2$ 为任意常数）。