2013 年考研数学（三） 第 13 题

题中出现 $A_{ij}$（代数余子式）或 $A^{\ast }$ → 两条性质：${\sum }_j{a}_{ij}{A}_{ij}=|A|$ 与 $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$。本题由 $A^{\ast }=-A^T$ 得 $|A{|}^2=-|A|$，再靠「$A\ne O$ $\Rightarrow$ 行展开为负平方和」定出 $|A|=-1$。

本题考查伴随矩阵与行列式性质。 由 $A_{ij}=-a_{ij}$ 可把代数余子式矩阵与 $A$ 联系起来，再用 $|A^{\ast }|=|A{|}^2$（$n=3$）确定 $|A|$。

伴随矩阵 $A^{\ast }=(A_{ij}{)}^T$。由 $A_{ij}=-a_{ij}$ 得 $A^{\ast }=-A^T$，两边取行列式：$|A^{\ast }|=(-1{)}^3|A^T|=-|A|$。又 $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}=|A{|}^2$，故 $|A{|}^2=-|A|$，得 $|A|=0$ 或 $|A|=-1$。

因 $A\ne O$，不妨设某 $a_{1j}\ne 0$，则按第一行展开 $|A|=a_{11}{A}_{11}+a_{12}{A}_{12}+a_{13}{A}_{13}=-(a_{11}^2+a_{12}^2+a_{13}^2)<0$，排除 $|A|=0$。故 $|A|=-1$。