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2013 年考研数学（三）第 14 题

填空题 · 4 分

设随机变量

X

服从标准正态分布

N (0, 1)

，则

E (X e^{2 X}) =

______.

提示 1

按定义写积分

E (X e^{2 X}) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x e^{2 x} \frac{1}{2 π} e^{- x^{2} /2} d x

。

提示 2

对指数

2 x - \frac{x ^{2}}{2}

配方成

- \frac{1}{2} (x - 2)^{2} + 2

，提出常数

e^{2}

。

提示 3

换元

t = x - 2

，利用标准正态的

\int f = 1

与

\int t f = 0

。

答案与详解

答案 $2 e^{2}$

思路（为什么这么做）

求

E (X e^{a X})

（

X \sim N (0, 1)

）→ 把

a x - \frac{x ^{2}}{2}

配方成

- \frac{1}{2} (x - a)^{2} + \frac{a ^{2}}{2}

，化成

N (a, 1)

的积分，用

\int f = 1, \int x f = a

一步出结果

a e^{a^{2} /2}

。本题

a = 2

得

2 e^{2}

。

解答

本题考查连续型随机变量函数的期望（配方法）。

X \sim N (0, 1)

，密度

f (x) = \frac{1}{2 π} e^{- x^{2} /2}

，按定义

E (X e^{2 X}) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x e^{2 x} \frac{1}{2 π} e^{- x^{2} /2} d x

。

对指数配方：

2 x - \frac{x ^{2}}{2} = - \frac{1}{2} (x - 2)^{2} + 2

。于是

E (X e^{2 X}) = e^{2} \int_{- \infty}^{+ \infty} x \frac{1}{2 π} e^{- \frac{1}{2} (x - 2)^{2}} d x

，被积函数正是

N (2, 1)

的密度乘

x

。

令

t = x - 2

：

= e^{2} \int_{- \infty}^{+ \infty} (t + 2) \frac{1}{2 π} e^{- t^{2} /2} d t = e^{2} (0 E (t) + 2 1 \int f) = e^{2} \cdot 2 = 2 e^{2}

。

考点：数学期望、常见连续分布（均匀、指数、正态）

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