2013 年考研数学（三） 第 15 题

求「$1-\prod \cos (kx)$」的等价无穷小 → 每个 $\cos kx\approx 1-\frac{k^2{x}^2}{2}$，乘积的 $x^2$ 系数是各 $\frac{k^2}{2}$ 之和（$\frac{1}{2}+\frac{4}{2}+\frac{9}{2}=7$）。坑：一定展到 $x^2$ 就够，系数别漏乘。

本题考查等价无穷小的确定，可用泰勒展开或「拆项 + 重要极限」。 目标是求出 $1-\cos x\cos 2x\cos 3x$ 的最低阶项。

方法一（泰勒展开）：由 $\cos kx=1-\frac{(kx{)}^2}{2}+o(x^2)$，得
$\cos x\cos 2x\cos 3x=\left(1-\frac{1}{2}{x}^2\right)\left(1-2x^2\right)\left(1-\frac{9}{2}{x}^2\right)+o(x^2)=1-\left(\frac{1}{2}+2+\frac{9}{2}\right)x^2+o(x^2)=1-7x^2+o(x^2)$。
故 $1-\cos x\cos 2x\cos 3x\sim 7x^2$，即 $n=2,a=7$。

方法二（拆项）：$1-\cos x\cos 2x\cos 3x=(1-\cos x)+\cos x(1-\cos 2x)+\cos x\cos 2x(1-\cos 3x)$。除以 $x^2$ 取极限，用 $1-\cos kx\sim \frac{(kx{)}^2}{2}$：
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x\cos 2x\cos 3x}{x^2}=\frac{1}{2}+\frac{4}{2}+\frac{9}{2}=7$，故 $n=2,a=7$。