2013 年考研数学（三） 第 16 题

曲边梯形绕两轴旋转求体积 → 绕 $x$ 轴圆盘法 $\pi \int y^{2}dx$，绕 $y$ 轴优先柱壳法 $2\pi \int xydx$（省去反函数）。列出比例方程后同底幂相除解 $a$。坑：柱壳法半径是 $x$，高是 $y=x^{1/3}$。

本题考查旋转体体积（圆盘法 / 柱壳法）与方程求解。 区域 $D$：$0\le x\le a$，$0\le y\le x^{1/3}$。

绕 $x$ 轴（圆盘法）：$V_x=\pi {\int }_0^a(x^{1/3}{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^a{x}^{2/3}dx=\frac{3\pi }{5}{a}^{5/3}$。

绕 $y$ 轴（柱壳法）：$V_y=2\pi {\int }_0^{a}x\cdot x^{1/3}dx=2\pi {\int }_0^a{x}^{4/3}dx=\frac{6\pi }{7}{a}^{7/3}$。

由 $V_y=10V_x$：$\frac{6\pi }{7}{a}^{7/3}=10\cdot \frac{3\pi }{5}{a}^{5/3}=6\pi a^{5/3}$，约去得 $\frac{1}{7}{a}^{2/3}=1$，即 $a^{2/3}=7$，故 $a=7^{3/2}=7\sqrt{7}$。