2013 年考研数学（三） 第 17 题

三条直线围三角形、被积函数只含 $x$ → 选「先 $y$ 后 $x$」，内积分秒变上下边界之差；上边界换线处按 $x$ 分段。坑：务必确认哪段用 $y=3x$、哪段用 $y=8-x$，交点 $x=2$ 是分界。

本题考查二重积分的直角坐标计算（区域分块 + 先 $y$ 后 $x$）。 先求三条直线两两的交点确定 $D$。

交点：$y=3x$ 与 $x+y=8$ 交于 $(2,6)$；$y=\frac{1}{3}x$（即 $x=3y$）与 $x+y=8$ 交于 $(6,2)$；两条过原点的直线交于 $(0,0)$。故 $D$ 是顶点 $(0,0),(2,6),(6,2)$ 的三角形，下边界为 $y=\frac{1}{3}x$，上边界在 $x\in [0,2]$ 为 $y=3x$、在 $x\in [2,6]$ 为 $y=8-x$。

按 $x$ 分两段、先对 $y$ 积分：
${\iint }_D{x}^{2}dxdy={\int }_0^2{x}^{2}dx{\int }_{x/3}^{3x}dy+{\int }_2^6{x}^{2}dx{\int }_{x/3}^{8-x}dy={\int }_0^2{x}^2\left(3x-\frac{x}{3}\right)dx+{\int }_2^6{x}^2\left(8-\frac{4}{3}x\right)dx$。

$=\frac{8}{3}{\int }_0^2{x}^{3}dx+{\int }_2^6\left(8x^2-\frac{4}{3}{x}^3\right)dx=\frac{8}{3}\cdot 4+{\left[\frac{8}{3}{x}^3-\frac{1}{3}{x}^4\right]}_2^6=\frac{32}{3}+128=\frac{416}{3}$。