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2013 年考研数学（三） 第 18 题
解答题 · 10 分
设生产某商品的固定成本为 元，可变成本为 元/件，价格函数为 （ 是单价，单位：元； 是销量，单位：件）。已知产销平衡，求：
（Ⅰ）该商品的边际利润；
（Ⅱ）当 时的边际利润，并解释其经济意义；
（Ⅲ）使得利润最大的定价 。
（Ⅰ）该商品的边际利润；
（Ⅱ）当 时的边际利润，并解释其经济意义；
（Ⅲ）使得利润最大的定价 。
提示 1
先建三个函数：收入 ，成本 ，利润 。提示 2
边际利润就是 ；求 对应的 再代入 。提示 3
最大利润令 解 ，用 确认极大，再换算成价格 。答案与详解
答案 （Ⅰ）；（Ⅱ），即 （此时 ）时再多销售一件产品约增加利润 元；（Ⅲ）当 ，即定价 元时利润最大。
思路（为什么这么做）
经济最优化三步：①；②边际 = 导数 （其值 = 多卖一件的利润增量）；③、 定最大，最后别忘把 换回题目要的价格 。坑：题问「定价 」不是产量 。
解答
本题考查经济应用：收入/成本/利润函数与边际、最值。 收入 ，总成本 ，利润 。
（Ⅰ）边际利润为 。
（Ⅱ）当 时，由 得 ，故 。经济意义：当销量为 件（即 ）时，再多生产并销售第 件产品，利润约增加 元。
（Ⅲ）令 ，得 ；又 ，故 时利润最大。此时定价 元。
（Ⅰ）边际利润为 。
（Ⅱ）当 时，由 得 ，故 。经济意义：当销量为 件（即 ）时，再多生产并销售第 件产品，利润约增加 元。
（Ⅲ）令 ，得 ；又 ，故 时利润最大。此时定价 元。