2013 年考研数学（三） 第 19 题

「证存在一点函数值等于某数」→ 介值定理（用极限或端点凑出两侧异号）；「证存在一点导数值等于差商」→ 拉格朗日中值定理。本题两问正好是这套「先值后导」组合。坑：极限 $=2$ 只能推出「某处 $f>1$」，需借辅助点 $c$。

本题考查介值定理（存在性）与拉格朗日中值定理。 （Ⅰ）造辅助函数用介值定理，（Ⅱ）直接对区间 $[0,a]$ 用拉氏定理。

（Ⅰ）令 $\phi (x)=f(x)-1$。因 $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=2$，存在 $c>0$ 使 $f(c)>1$，即 $\phi (c)>0$；又 $\phi (0)=f(0)-1=-1<0$。$f$ 可导故在 $[0,c]$ 上连续，$\phi$ 亦连续，由介值（零点）定理，存在 $a\in (0,c)\subset (0,+\infty )$ 使 $\phi (a)=0$，即 $f(a)=1$。

（Ⅱ）$f(x)$ 在 $[0,a]$ 上连续、在 $(0,a)$ 内可导，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (0,a)$ 使
$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(a)-f(0)}{a-0}=\frac{1-0}{a}=\frac{1}{a}$。证毕。