2013 年考研数学（三） 第 20 题

矩阵方程 $AC-CA=B$（或 $AX=B$ 型）求参数与全部解 → 设未知元展开成线性方程组，「存在解」= 方程组相容（$r(\text{系数})=r(\text{增广})$），解出参数后用自由变量给出通解。坑：相容性同时约束 $a$ 和 $b$，别只解一个。

本题考查把矩阵方程转化为线性方程组，并用有解条件定参数。 设 $C=\left(\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\\ x_3& x_4\end{array}\right)$，直接算 $AC-CA$。

$AC=\left(\begin{array}{cc}{x}_1+a{x}_3& x_2+a{x}_4\\ x_1& x_2\end{array}\right),CA=\left(\begin{array}{cc}{x}_1+x_2& a{x}_1\\ x_3+x_4& a{x}_3\end{array}\right)$，故
$AC-CA=\left(\begin{array}{cc}-x_2+a{x}_3& -a{x}_1+x_2+a{x}_4\\ x_1-x_3-x_4& x_2-a{x}_3\end{array}\right)$。

令其等于 $B$，得四元线性方程组 $\{\begin{array}{l}-x_2+a{x}_3=0\\ -a{x}_1+x_2+a{x}_4=1\\ x_1-x_3-x_4=1\\ x_2-a{x}_3=b\end{array}$。由第 1、4 式相加得 $0=b$，故必须 $b=0$；再由第 3 式 $x_1-x_3-x_4=1$ 代入第 2 式得 $a\cdot (-(x_1-x_3-x_4))=1$，即 $-a=1$，故 $a=-1$。

当 $a=-1,b=0$ 时方程组相容。此时 $x_2=a{x}_3=-x_3$，$x_1=1+x_3+x_4$。取 $x_3=c_1,x_4=c_2$（任意常数），则 $x_1=c_1+c_2+1,x_2=-c_1$，故 $C=\left(\begin{array}{cc}{c}_1+c_2+1& -c_1\\ c_1& c_2\end{array}\right)$（$c_1,c_2$ 为任意常数）。