2013 年考研数学（三） 第 21 题

形如 $\sum k_i({\gamma }_i^{\mathrm{T}}X{)}^2$ 的二次型 → 矩阵 $=\sum k_i{\gamma }_i{\gamma }_i^{\mathrm{T}}$；若 ${\gamma }_i$ 正交单位，则它们就是特征向量、$k_i$ 就是特征值，秩 $\le$ 项数给出其余零特征值。正交变换标准形的系数 = 特征值。

本题考查二次型的矩阵表示与正交变换化标准形（特征值法）。 记 $X=(x_1,x_2,x_3{)}^{\mathrm{T}}$，注意 $a_1{x}_1+a_2{x}_2+a_3{x}_3={\alpha }^{\mathrm{T}}X$。

（Ⅰ）$({\alpha }^{\mathrm{T}}X{)}^2=({\alpha }^{\mathrm{T}}X)(X^{\mathrm{T}}\alpha )=X^{\mathrm{T}}(\alpha {\alpha }^{\mathrm{T}})X$，同理 $({\beta }^{\mathrm{T}}X{)}^2=X^{\mathrm{T}}(\beta {\beta }^{\mathrm{T}})X$。故
$f=2X^{\mathrm{T}}(\alpha {\alpha }^{\mathrm{T}})X+X^{\mathrm{T}}(\beta {\beta }^{\mathrm{T}})X=X^{\mathrm{T}}(2\alpha {\alpha }^{\mathrm{T}}+\beta {\beta }^{\mathrm{T}})X$。而 $(2\alpha {\alpha }^{\mathrm{T}}+\beta {\beta }^{\mathrm{T}}{)}^{\mathrm{T}}=2\alpha {\alpha }^{\mathrm{T}}+\beta {\beta }^{\mathrm{T}}$ 对称，故它就是 $f$ 的矩阵 $A$。

（Ⅱ）设 $\alpha ,\beta$ 正交单位向量，即 ${\alpha }^{\mathrm{T}}\alpha ={\beta }^{\mathrm{T}}\beta =1,{\alpha }^{\mathrm{T}}\beta ={\beta }^{\mathrm{T}}\alpha =0$。则
$A\alpha =(2\alpha {\alpha }^{\mathrm{T}}+\beta {\beta }^{\mathrm{T}})\alpha =2\alpha ({\alpha }^{\mathrm{T}}\alpha )+\beta ({\beta }^{\mathrm{T}}\alpha )=2\alpha$，
$A\beta =(2\alpha {\alpha }^{\mathrm{T}}+\beta {\beta }^{\mathrm{T}})\beta =2\alpha ({\alpha }^{\mathrm{T}}\beta )+\beta ({\beta }^{\mathrm{T}}\beta )=\beta$。故 $\alpha ,\beta$ 分别是属于特征值 ${\lambda }_1=2,{\lambda }_2=1$ 的特征向量。

又 $r(A)=r(2\alpha {\alpha }^{\mathrm{T}}+\beta {\beta }^{\mathrm{T}})\le r(\alpha {\alpha }^{\mathrm{T}})+r(\beta {\beta }^{\mathrm{T}})=1+1=2<3$，故 $A$ 有第三个特征值 ${\lambda }_3=0$。$A$ 为实对称，可正交对角化，其特征值为 $2,1,0$，故 $f$ 在正交变换下的标准形为 $2y_1^2+y_2^2$。