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2013 年考研数学（三）第 22 题

解答题 · 11 分

设

(X, Y)

是二维随机变量，

X

的边缘概率密度为

f_{X} (x) = {3 x^{2}, 0, 0 < x < 1 其他

，在给定

X = x

（

0 < x < 1

）的条件下

Y

的条件概率密度为

f_{Y ∣ X} (y ∣ x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{3 y ^{2}}{x ^{3}}, 0, 0 < y < x 其他

。

（Ⅰ）求

(X, Y)

的概率密度

f (x, y)

；
（Ⅱ）求

Y

的边缘概率密度

f_{Y} (y)

；
（Ⅲ）求

P {X > 2 Y}

。

提示 1

（Ⅰ）联合密度 = 边缘 × 条件：

f (x, y) = f_{X} (x) f_{Y ∣ X} (y ∣ x)

，注意支撑变成

0 < y < x < 1

。

提示 2

（Ⅱ）对

x

积分求

f_{Y} (y)

；固定

y \in (0, 1)

时

x

的范围是

(y, 1)

。

提示 3

（Ⅲ）在支撑上把条件

x > 2 y

写成

y < x /2

，先对

y

从

0

到

x /2

积分。

答案与详解

答案（Ⅰ） $f (x, y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{9 y ^{2}}{x}, 0, 0 < x < 1, 0 < y < x 其他$ ；（Ⅱ） $f_{Y} (y) = {- 9 y^{2} ln y, 0, 0 < y < 1 其他$ ；（Ⅲ） $P {X > 2 Y} = \frac{1}{8}$ 。

思路（为什么这么做）

已知

f_{X}

与

f_{Y ∣ X}

→ 联合

f = f_{X} \cdot f_{Y ∣ X}

（乘法公式），边缘

f_{Y} = \int f d x

（先画支撑定积分限），区域概率

P {

事件

} = \iint_{支撑 \cap 事件} f

。坑：积分限一定要结合三角形支撑

0 < y < x < 1

。

解答

本题考查条件密度与联合、边缘密度的关系及区域概率。 用乘法公式

f (x, y) = f_{X} (x) f_{Y ∣ X} (y ∣ x)

。

（Ⅰ）在

0 < x < 1, 0 < y < x

上，

f (x, y) = f_{X} (x) f_{Y ∣ X} (y ∣ x) = 3 x^{2} \cdot \frac{3 y ^{2}}{x ^{3}} = \frac{9 y ^{2}}{x}

；其余为

0

。

（Ⅱ）

f_{Y} (y) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, y) d x

。当

y \leq 0

或

y \geq 1

时为

0

；当

0 < y < 1

时，需

y < x < 1

，故

f_{Y} (y) = \int_{y}^{1} \frac{9 y ^{2}}{x} d x = 9 y^{2} ln x_{y}^{1} = - 9 y^{2} ln y

。即

f_{Y} (y) = - 9 y^{2} ln y (0 < y < 1)

，其余为

0

。

（Ⅲ）

P {X > 2 Y} = \iint_{x > 2 y} f (x, y) d x d y

。支撑内

x > 2 y \Leftrightarrow y < \frac{x}{2}

，故

= \int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x /2} \frac{9 y ^{2}}{x} d y = \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \cdot 3 y^{3}_{0}^{x /2} d x = \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \cdot \frac{3 x ^{3}}{8} d x = \frac{3}{8} \int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{8}

。

考点：边缘分布与条件分布、二维随机变量与联合分布

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