2013 年考研数学（三） 第 23 题

点估计标准流程：矩估计令 $E(X)=\bar{X}$ 解 $\theta$（算期望时换元 $t=\theta /x$ 把它变成 $\Gamma$ 型积分）；MLE 取对数似然对 $\theta$ 求导置零。坑：$\ln L$ 中 ${\theta }^{2n}$ 给出 $\frac{2n}{\theta }$，故分子是 $2n$ 而非 $n$。

本题考查点估计：矩估计与最大似然估计。

（Ⅰ）先求总体均值：$E(X)={\int }_0^{+\infty }x\cdot \frac{{\theta }^2}{x^3}{\mathrm{e}}^{-\theta /x}dx={\int }_0^{+\infty }\frac{{\theta }^2}{x^2}{\mathrm{e}}^{-\theta /x}dx$。令 $t=\frac{\theta }{x}$，则 $d\left(\frac{\theta }{x}\right)=-\frac{\theta }{x^2}dx$，得 $E(X)=-\theta {\int }_{+\infty }^0{\mathrm{e}}^{-t}dt=\theta {\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-t}dt=\theta$。令 $E(X)=\bar{X}$，得矩估计量 $\hat{\theta }=\bar{X}$。

（Ⅱ）似然函数（$x_i>0$）：$L(\theta )={\prod }_{i=1}^n\frac{{\theta }^2}{x_i^3}{\mathrm{e}}^{-\theta /x_i}={\theta }^{2n}({\prod }_{i=1}^n{x}_i{)}^{-3}{\mathrm{e}}^{-\theta {\sum }_{i=1}^{n}1/x_i}$。取对数：
$\ln L(\theta )=2n\ln \theta -3{\sum }_{i=1}^n\ln x_i-\theta {\sum }_{i=1}^n\frac{1}{x_i}$。

令 $\frac{d\ln L}{d\theta }=\frac{2n}{\theta }-{\sum }_{i=1}^n\frac{1}{x_i}=0$，解得 $\theta =\frac{2n}{{\sum }_{i=1}^{n}1/x_i}$。故最大似然估计量 $\hat{\theta }=\frac{2n}{{\sum }_{i=1}^n\frac{1}{X_i}}$。