2012 年考研数学（三） 第 9 题

$1^{\infty }$ 型 → 取 $e^{\lim (u-1)\cdot v}$；本题把 $\tan x-1$ 通分出 $\sin x-\cos x$ 与分母 $\cos x-\sin x$ 约分。坑：$\tan x-1$ 与 $\cos x-\sin x$ 相差一个负号和因子 $\frac{1}{\cos x}$。

本题考查 $1^{\infty }$ 型极限。 当 $x\to \frac{\pi }{4}$，$\tan x\to 1$、指数 $\to \infty$。

用 $\lim u^v=e^{\lim v(u-1)}$（$u\to 1$）：$v(u-1)=\frac{\tan x-1}{\cos x-\sin x}$。

化简 $\tan x-1=\frac{\sin x-\cos x}{\cos x}=-\frac{\cos x-\sin x}{\cos x}$，故 $\frac{\tan x-1}{\cos x-\sin x}=-\frac{1}{\cos x}\to -\frac{1}{\cos \frac{\pi }{4}}=-\sqrt{2}$。

故原极限 $=e^{-\sqrt{2}}$。