2012 年考研数学（三） 第 10 题

分段函数的复合求导 → 先算内层函数值定位外层用哪一支，再各自求导相乘。坑：$\ln \sqrt{x}=\frac{1}{2}\ln x$，其导数是 $\frac{1}{2x}$ 而不是 $\frac{1}{x}$。

本题考查分段复合函数求导 + 链式法则。 先定位外层落在哪一支。

在 $x=e>1$：$f(e)=\ln \sqrt{e}=\frac{1}{2}$。因 $f(e)=\frac{1}{2}<1$，外层 $f$ 用 $2u-1$ 支，故 $f^{\prime }(f(e))=2$。

内层在 $x=e(>1)$ 用 $\ln \sqrt{x}=\frac{1}{2}\ln x$，$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2x}$，$f^{\prime }(e)=\frac{1}{2e}$。

链式：$\frac{dy}{dx}{|}_{x=e}=f^{\prime }(f(e))\cdot f^{\prime }(e)=2\cdot \frac{1}{2e}=\frac{1}{e}$。