2012 年考研数学（三） 第 11 题

给“某线性式与 $f$ 之差再除以 $\rho \to 0$” → 说明 $f$ 可微，线性主部系数就是偏导。坑：$+y-2$ 对应 $-(y-1)$，故 $f_y=-1$，$dz=2dx-dy$。

本题考查用全微分定义（极限刻画）读出偏导数。

令 $\rho =\sqrt{x^2+(y-1{)}^2}$。极限为 $0$ 意味 $f(x,y)-2x+y-2=o(\rho )$，即 $f(x,y)=2+2x-(y-1)+o(\rho )$。

对照全微分定义 $f(x,y)=f(0,1)+f_x(0,1)x+f_y(0,1)(y-1)+o(\rho )$，得 $f(0,1)=2$，$f_x(0,1)=2$，$f_y(0,1)=-1$。

故 $dz{|}_{(0,1)}=2dx-dy$。