2012 年考研数学（三） 第 12 题

由多条过原点直线 + 反比例曲线围成的区域 → 常选对 $y$ 积分（左右界都是 $x=$ 某函数），并在交点处分段。坑：右界在 $y=2$ 换界；$\int \frac{4}{y}dy=4\ln y$ 贡献 $4\ln 2$。

本题考查用定积分求平面图形面积。 先求两两交点。

$y=x$ 与 $y=4x$ 交于原点；$y=x$ 与 $y=\frac{4}{x}$ 交于 $(2,2)$；$y=4x$ 与 $y=\frac{4}{x}$ 交于 $(1,2)$。

按 $y$ 积分，左界恒为 $x=\frac{y}{4}$（即 $y=4x$），右界在 $y=2$ 处从 $x=y$ 换成 $x=\frac{4}{y}$：

$S={\int }_0^2(y-\frac{y}{4})dy+{\int }_2^4(\frac{4}{y}-\frac{y}{4})dy=\frac{3}{2}+(4\ln 2-\frac{3}{2})=4\ln 2$。