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2012 年考研数学（三）第 13 题

填空题 · 4 分

设

A

为

3

阶矩阵，

∣ A ∣ = 3

，

A^{*}

为

A

的伴随矩阵，若交换

A

的第

1

行与第

2

行得矩阵

B

，则

∣ B A^{*} ∣ =

______。

提示 1

交换两行

\Rightarrow

∣ B ∣ = - ∣ A ∣ = - 3

。

提示 2

∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{n - 1}

，此处

= 3^{2} = 9

。

提示 3

∣ B A^{*} ∣ = ∣ B ∣ ∣ A^{*} ∣

。

答案与详解

答案 $- 27$

思路（为什么这么做）

含伴随矩阵的行列式 → 用

∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{n - 1}

；含行交换 → 行列式变号。坑：

∣ A^{*} ∣

的指数是

n - 1 = 2

而非

n

；

∣ B A^{*} ∣ = ∣ B ∣ ∣ A^{*} ∣

用行列式乘法性质。

解答

本题考查伴随矩阵行列式公式与行变换对行列式的影响。

交换两行行列式变号：

∣ B ∣ = - ∣ A ∣ = - 3

。

n

阶方阵

∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{n - 1} = ∣ A ∣^{2} = 9

（

n = 3

）。

故

∣ B A^{*} ∣ = ∣ B ∣ \cdot ∣ A^{*} ∣ = (- 3) \times 9 = - 27

。

考点：伴随矩阵、行列式的计算

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