2012 年考研数学（三） 第 8 题

形如 $\frac{\text{正态}}{|\text{正态}|}$ 且分子分母独立 → 构造 $t=\frac{N(0,1)}{\sqrt{{\chi }^2(n)/n}}$；这里 $\sqrt{{\chi }^2(1)}$ 给出绝对值，得 $t(1)$。坑：$\sigma$ 未知但上下约去；绝对值来自对 ${\chi }^2(1)$ 开方。

本题考查由正态样本构造 $t$ 分布。

分子：$X_1-X_2\sim N(0,2{\sigma }^2)$，故 $\frac{X_1-X_2}{\sqrt{2}\sigma }\sim N(0,1)$。

分母：$X_3+X_4-2\sim N(0,2{\sigma }^2)$（因 $E(X_3+X_4)=2$），故 $\frac{X_3+X_4-2}{\sqrt{2}\sigma }\sim N(0,1)$，其平方 $\sim {\chi }^2(1)$。

两者独立，$t=\frac{N(0,1)}{\sqrt{{\chi }^2(1)/1}}=\frac{(X_1-X_2)/(\sqrt{2}\sigma )}{\sqrt{[(X_3+X_4-2)/(\sqrt{2}\sigma ){]}^2}}=\frac{X_1-X_2}{|X_3+X_4-2|}\sim t(1)$。选 B。