2012 年考研数学（三） 第 7 题

两独立均匀变量求 $P\{$落在某区域$\}$ → 化为几何概型：所求 = 区域面积 / 样本区域面积。坑：单位正方形面积为 $1$，四分之一圆面积是 $\frac{\pi }{4}$ 而不是 $\frac{\pi }{8}$。

本题考查二维均匀分布（独立）下用几何概型求概率。

$X,Y$ 独立且均 $\sim U(0,1)$，故 $(X,Y)$ 在单位正方形 $[0,1{]}^2$ 上服从二维均匀分布，联合密度 $f(x,y)=1$（正方形内）。

$P\{X^2+Y^2\le 1\}$ = 正方形内满足 $x^2+y^2\le 1$ 部分（四分之一单位圆）的面积 $÷$ 正方形面积 $=\frac{\pi /4}{1}=\frac{\pi }{4}$。选 D。