2012 年考研数学（三） 第 6 题

列向量做组合得到新相似变换阵 → 写成 $Q=PM$，则 $Q^{-1}AQ=M^{-1}\Lambda M$。坑：${\alpha }_1+{\alpha }_2$ 仍是同一特征值 $1$ 的特征向量时，对角元不改变，答案仍 $\mathrm{diag}(1,1,2)$。

本题考查相似变换在列组合下的表示。 记 $\Lambda =P^{-1}AP=\mathrm{diag}(1,1,2)$。

把列组合写成右乘初等矩阵：$Q=({\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=PM$，其中 $M=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$。

于是 $Q^{-1}AQ=M^{-1}(P^{-1}AP)M=M^{-1}\Lambda M$。因 $M^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，计算得 $M^{-1}\Lambda M=\mathrm{diag}(1,1,2)$（${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 同属特征值 $1$，组合后仍是特征值 $1$ 的特征向量）。选 B。