2012 年考研数学（三） 第 5 题

判 $3$ 个三维向量组是否相关 → 算 $3\times 3$ 行列式是否恒为 $0$。坑：题目要“对任意 $c_i$ 都相关”，选那个行列式与 $c_i$ 无关且恒为 $0$ 的组。

本题考查 $3$ 个三维向量线性相关 $\iff$ 其行列式为 $0$。 应选对任意 $c_i$ 都相关的那组。

观察 C 组：${\alpha }_3+{\alpha }_4=(0,0,c_3+c_4{)}^T$ 与 ${\alpha }_1=(0,0,c_1{)}^T$ 都只在第三分量非零，成比例（共线方向），三向量共面。

或直接算 $\left|{\alpha }_1,{\alpha }_3,{\alpha }_4\right|=\left|\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 0& -1& 1\\ c_1& c_3& c_4\end{array}\right|$，按第一列展开 $=c_1\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right|=c_1\cdot 0=0$（与 $c_i$ 无关）。故 ${\alpha }_1,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 线性相关，选 C。