2012 年考研数学（三） 第 4 题

同时给“绝对收敛”和“条件收敛” → 分别转成对 $p$ 值的不等式再取交集。坑：条件收敛必须写两条约束（收敛 AND 不绝对收敛），漏掉任何一条都会选错。

本题考查绝对收敛/条件收敛的判定与 $p$ 级数。

第一个级数绝对收敛：$\left|(-1{)}^n\sqrt{n}\sin \frac{1}{n^{\alpha }}\right|=\sqrt{n}\sin \frac{1}{n^{\alpha }}\sim \sqrt{n}\cdot \frac{1}{n^{\alpha }}=\frac{1}{n^{\alpha -1/2}}$。$p$ 级数收敛要求 $\alpha -\frac{1}{2}>1$，即 $\alpha >\frac{3}{2}$。

第二个级数条件收敛：交错级数收敛（莱布尼茨）要求 $2-\alpha >0$ 即 $\alpha <2$；而不绝对收敛要求 $2-\alpha \le 1$ 即 $\alpha \ge 1$。故 $1\le \alpha <2$。

两者取交集得 $\frac{3}{2}<\alpha <2$，选 D。