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2012 年考研数学（三）第 3 题

选择题 · 4 分

设函数

f (t)

连续，则二次积分

\int_{0}^{\frac{π}{2}} d θ \int_{2 c o s θ}^{2} f (r^{2}) r d r =

（　　）。

A $\int_{0}^{2} d x \int_{2 x - x^{2}}^{4 - x^{2}} x^{2} + y^{2} f (x^{2} + y^{2}) d y$
B $\int_{0}^{2} d x \int_{2 x - x^{2}}^{4 - x^{2}} f (x^{2} + y^{2}) d y$
C $\int_{0}^{2} d y \int_{1 + 1 - y^{2}}^{4 - y^{2}} x^{2} + y^{2} f (x^{2} + y^{2}) d x$
D $\int_{0}^{2} d y \int_{1 + 1 - y^{2}}^{4 - y^{2}} f (x^{2} + y^{2}) d x$

提示 1

\int d θ \int f (r^{2}) r d r

中的

r d r d θ

就是直角坐标面积元

d x d y

，转化后不该再冒出

x^{2} + y^{2}

（排除 A、C）。

提示 2

r = 2 cos θ \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 2 x

（圆

(x - 1)^{2} + y^{2} = 1

），

r = 2 \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 4

。

提示 3

区域在上半平面，

0 \leq x \leq 2

，下界

y = 2 x - x^{2}

，上界

y = 4 - x^{2}

。

答案与详解

答案 B

思路（为什么这么做）

极坐标二次积分

\int \int f (r^{2}) r d r d θ

化直角坐标 →

r d r d θ = d x d y

，被积函数直接

f (x^{2} + y^{2})

。坑：

r d r

的

r

是面积元的一部分，别把它误留成

x^{2} + y^{2}

留在被积函数里。

解答

本题考查二重积分极坐标 ↔ 直角坐标互化。 关键：

r d r d θ

恰是直角坐标面积元

d x d y

。

还原区域：

0 \leq θ \leq \frac{π}{2}

，

2 cos θ \leq r \leq 2

。

r = 2 cos θ \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 2 x

，即圆

(x - 1)^{2} + y^{2} = 1

；

r = 2 \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 4

。区域为上半平面内、小圆外大圆内的部分。

因

r d r d θ = d x d y

、

f (r^{2}) = f (x^{2} + y^{2})

，转化后不再出现

x^{2} + y^{2}

（排除 A、C）。用 X 型：

0 \leq x \leq 2

，

2 x - x^{2} \leq y \leq 4 - x^{2}

。

故原式

= \int_{0}^{2} d x \int_{2 x - x^{2}}^{4 - x^{2}} f (x^{2} + y^{2}) d y

，选 B。

考点：二重积分的计算（极坐标、对称性、反常二重积分）、二重积分的计算（直角坐标、交换积分次序）

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