2012 年考研数学（三） 第 2 题

多因子乘积在某点求导且该点函数值为 $0$ → 用导数定义，把含零因子那项与 $x$ 组成 $\frac{e^x-1}{x}\to 1$，其余因子代入。坑：符号 $(-1{)}^{n-1}$ 与阶乘 $(n-1)!$ 别数错（只有 $n-1$ 个非零因子相乘）。

本题考查用导数定义处理乘积在某点的导数。 注意首因子使 $f(0)=(e^0-1)(\cdots )=0$。

由定义 $f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}\cdot (e^{2x}-2)\cdots (e^{nx}-n)$。

其中 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$，其余因子在 $x=0$ 取值：$(1-2)(1-3)\cdots (1-n)=(-1{)}^{n-1}(n-1)!$。故 $f^{\prime }(0)=(-1{)}^{n-1}(n-1)!$，选 A。