2012 年考研数学（三） 第 1 题

求渐近线条数 → 水平（$x\to \infty$ 极限）+ 铅直（分母零点处极限为 $\infty$ 才算）+ 斜（有水平就没斜）。坑：分母零点若与分子约分后极限有限，则不是铅直渐近线。

本题考查曲线渐近线（水平、铅直、斜）的求法，需逐类排查。

水平渐近线：$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2+x}{x^2-1}=1$，得 $y=1$。

铅直渐近线：分母零点 $x=\pm 1$。$x=1$ 处 $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2+x}{x^2-1}=\infty$，是铅直渐近线；$x=-1$ 处 $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x}{x-1}=\frac{1}{2}$（可去），不是铅直渐近线。

斜渐近线：已有水平渐近线（$x\to \pm \infty$），故无斜渐近线。共 $2$ 条，选 C。