2012 年考研数学（三） 第 20 题

非齐次方程组“有无穷多解” → 必要条件 $|A|=0$ 缩小 $a$ 的范围，再用初等行变换验 $r(A)=r(\overline{A})<n$ 并写通解。坑：$|A|=0$ 的两个 $a$ 值都要验证，$a=1$ 实为无解。

本题考查特殊行列式计算 + 非齐次线性方程组解的讨论。

（Ⅰ）按第一列展开（只有 $a_{11}=1$ 与 $a_{41}=a$ 非零）：$|A|=1\cdot A_{11}+a\cdot A_{41}=M_{11}-a{M}_{41}=1-a\cdot a^3=1-a^4$。

（Ⅱ）有无穷多解需 $|A|=0$，即 $a^4=1\Rightarrow a=\pm 1$，再逐一验证。

当 $a=1$：对 $(A\mid \beta )$ 消元得 $r(A)\ne r(\overline{A})$，无解，舍去。

当 $a=-1$：行化简得 $r(A)=r(\overline{A})=3<4$，有无穷多解。齐次基础解系为 $(1,1,1,1{)}^T$，一个特解为 $(0,-1,0,0{)}^T$，故通解 $x=k(1,1,1,1{)}^T+(0,-1,0,0{)}^T$（$k$ 任意）。