2012 年考研数学（三） 第 19 题

两个二阶方程联立求 $f$ → 相减降阶为一阶线性再定常数。求拐点 → $y^{\prime \prime }$ 变号点，含 ${\int }_0^x$ 用变限积分求导。坑：$y^{\prime \prime }(0)=0$ 且两侧变号才是拐点，需验两侧符号。

本题考查常系数线性微分方程 + 拐点判定（含变限积分求导）。

（Ⅰ）两式相减消去 $f^{\prime \prime }$：$(f^{\prime \prime }+f^{\prime }-2f)-(f^{\prime \prime }+f)=-2e^x$，得一阶线性方程 $f^{\prime }-3f=-2e^x$，通解 $f(x)=C{e}^{3x}+e^x$。代回 $f^{\prime \prime }+f=2e^x$：$10C{e}^{3x}+2e^x=2e^x\Rightarrow C=0$，故 $f(x)=e^x$。

（Ⅱ）$y=e^{x^2}{\int }_0^x{e}^{-t^2}dt$。求导：$y^{\prime }=2x{e}^{x^2}{\int }_0^x{e}^{-t^2}dt+e^{x^2}\cdot e^{-x^2}=2x{e}^{x^2}{\int }_0^x{e}^{-t^2}dt+1$。

$y^{\prime \prime }=2(1+2x^2)e^{x^2}{\int }_0^x{e}^{-t^2}dt+2x$。当 $x<0$：${\int }_0^x{e}^{-t^2}dt<0$ 且 $2x<0$，$y^{\prime \prime }<0$；$x>0$ 时 $y^{\prime \prime }>0$；$x=0$ 处 $y^{\prime \prime }=0$ 且两侧变号。又 $y(0)=0$，故拐点为 $(0,0)$。