2012 年考研数学（三） 第 18 题

证 $g(x)\ge h(x)$ → 令 $f=g-h$ 找最小值。若 $f(0)=f^{\prime }(0)=0$ 且 $f^{\prime \prime }>0$，则 $x=0$ 为最小点，$f\ge 0$。坑：$\frac{4}{(1-x^2{)}^2}\ge 4$ 与 $\cos x+1\le 2$ 需联合使用才能断定 $f^{\prime \prime }>0$。

本题考查用求导（极值/单调性）证明不等式。 构造辅助函数化为证 $f(x)\ge 0$。

令 $f(x)=x\ln \frac{1+x}{1-x}+\cos x-\frac{x^2}{2}-1(-1<x<1)$，则 $f(0)=0$，只需证 $f(x)\ge 0$。

求导 $f^{\prime }(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}+\frac{2x}{1-x^2}-\sin x-x$，得 $f^{\prime }(0)=0$；再求 $f^{\prime \prime }(x)=\frac{4}{(1-x^2{)}^2}-\cos x-1$。

当 $-1<x<1$ 时 $\frac{4}{(1-x^2{)}^2}\ge 4$，而 $1+\cos x\le 2$，故 $f^{\prime \prime }(x)>0$。于是 $f^{\prime }$ 单调增，结合 $f^{\prime }(0)=0$ 知：$x<0$ 时 $f^{\prime }<0$、$x>0$ 时 $f^{\prime }>0$，故 $x=0$ 是 $f$ 在 $(-1,1)$ 内的最小值点，$f(x)\ge f(0)=0$。原不等式得证。