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2012 年考研数学（三） 第 17 题
解答题 · 10 分
某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为 （万元）。设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为 （件）和 （件），且这两种产品的边际成本分别为 （万元/件）与 （万元/件）。
（Ⅰ）求生产甲、乙两种产品的总成本函数 （万元）；
（Ⅱ）当总产量为 件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小？求最小总成本；
（Ⅲ）求总产量为 件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。
（Ⅰ）求生产甲、乙两种产品的总成本函数 （万元）；
（Ⅱ）当总产量为 件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小？求最小总成本；
（Ⅲ）求总产量为 件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。
提示 1
（Ⅰ）边际成本就是偏导数，对 、 分别积分，常数项由固定成本 确定。提示 2
（Ⅱ）用 消元成一元函数 ，令 求极小并用 验证。提示 3
（Ⅲ）边际成本 = 在最优点处取值；经济意义是“再多产一件甲所增加的成本”。答案与详解
答案 （Ⅰ）；（Ⅱ）甲 件、乙 件时总成本最小，最小总成本为 万元；（Ⅲ）甲产品的边际成本为 （万元/件）
思路（为什么这么做）
给边际（=导数/偏导）求总成本 → 积分复原、固定成本作常数；带总量约束求最小成本 → 消元成一元后求极值。坑：边际成本的经济意义要说清“再生产一单位所增加的成本”。
解答
本题考查由边际成本积分复原总成本，及总量约束下的最小成本（经济优化）。
（Ⅰ）边际成本即偏导：，，且固定成本 。积分得 。
（Ⅱ）约束 ，代入得 。由 得 ；，故 为最小值点。即甲 件、乙 件，最小总成本 （万元）。
（Ⅲ）甲产品边际成本 （万元/件）。经济意义：在甲产 件、乙产 件（总成本最小）时，再多生产 件（第 件）甲产品约需增加成本 万元。
（Ⅰ）边际成本即偏导：，，且固定成本 。积分得 。
（Ⅱ）约束 ，代入得 。由 得 ；，故 为最小值点。即甲 件、乙 件，最小总成本 （万元）。
（Ⅲ）甲产品边际成本 （万元/件）。经济意义：在甲产 件、乙产 件（总成本最小）时，再多生产 件（第 件）甲产品约需增加成本 万元。