2012 年考研数学（三） 第 16 题

无界区域二重积分 → 先沿“发散方向”（这里 $y$）积分，常把奇性消掉化为收敛的一元积分。坑：先 $y$ 后 $x$，$\int ydy=\frac{1}{2}(\frac{1}{x}-x)$ 恰约去 $\frac{1}{x}$ 的奇点，积分收敛为 $\frac{1}{2}$。

本题考查无界区域的反常二重积分，用直角坐标先 $y$ 后 $x$ 累次积分。

两曲线 $y=\sqrt{x}$ 与 $y=\frac{1}{\sqrt{x}}$ 交于 $(1,1)$，以 $y$ 轴（$x=0$）为左界，故 $D=\{(x,y):0<x\le 1,\sqrt{x}\le y\le \frac{1}{\sqrt{x}}\}$（$x\to 0^{+}$ 时上界 $\to \infty$，区域无界）。

先对 $y$：${\int }_{\sqrt{x}}^{1/\sqrt{x}}ydy=\frac{1}{2}(\frac{1}{x}-x)$，于是原积分 $={\int }_0^{1}x{e}^x\cdot \frac{1}{2}(\frac{1}{x}-x)dx=\frac{1}{2}{\int }_0^1(1-x^2)e^{x}dx$。

分部积分：$\frac{1}{2}(1-x^2)e^x{|}_0^1+{\int }_0^{1}x{e}^{x}dx=-\frac{1}{2}+(x-1)e^x{|}_0^1=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$。