2012 年考研数学（三） 第 15 题

$e^A-e^B$ 型 → 提 $e^B$ 得 $e^B(e^{A-B}-1)$，再用 $e^u-1\sim u$。坑：$\cos x$ 必须展开到 $x^4$（分母是 $x^4$），$x^2$ 项恰好与 $-2$ 抵消，剩 $\frac{x^4}{12}$。

本题考查 $\frac{0}{0}$ 型极限：提公因子 + 等价无穷小 + 泰勒展开。

提出公因子 $e^{2-2\cos x}$：$\frac{e^{x^2}-e^{2-2\cos x}}{x^4}=e^{2-2\cos x}\cdot \frac{e^{x^2-(2-2\cos x)}-1}{x^4}$，其中 $e^{2-2\cos x}\to 1$。

用 $e^u-1\sim u$（$u=x^2-2+2\cos x\to 0$）：极限 $=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2-2+2\cos x}{x^4}$。

泰勒 $\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)$，得 $x^2-2+2\cos x=\frac{x^4}{12}+o(x^4)$，故极限 $=\frac{1}{12}$。