乐思数学通 › 考研数学（三） › 真题检索 › 2012 年
2012 年考研数学（三） 第 21 题
解答题 · 11 分
已知 ，二次型 的秩为 。
（Ⅰ）求实数 的值；
（Ⅱ）求正交变换 将 化为标准形。
（Ⅰ）求实数 的值；
（Ⅱ）求正交变换 将 化为标准形。
提示 1
（Ⅰ）用 ，把“二次型秩为 ”转成 ，对 化行阶梯定 。提示 2
（Ⅱ） 代入算实对称阵 ，求特征值与特征向量。提示 3
特征向量单位化（本题已正交）按列拼成 ，标准形系数即特征值（含 ）。答案与详解
答案 （Ⅰ）；（Ⅱ）标准形为 （正交变换 ， 由 的单位正交特征向量按列排成）
思路（为什么这么做）
且给秩 → 用 定参数；正交变换化标准形 → 对实对称阵 求特征值/正交单位特征向量。坑：标准形系数是特征值（ 那项消失）， 的列必须单位正交。
解答
本题考查秩的关系 与正交变换化二次型为标准形。
（Ⅰ）二次型矩阵为 ，其秩 。对 作初等行变换化阶梯，要 须 。
（Ⅱ） 时 。特征多项式 ，特征值 。
对应特征向量 （两两正交），单位化得 。取 ，在 下 。
（Ⅰ）二次型矩阵为 ，其秩 。对 作初等行变换化阶梯，要 须 。
（Ⅱ） 时 。特征多项式 ，特征值 。
对应特征向量 （两两正交），单位化得 。取 ，在 下 。