2012 年考研数学（三） 第 22 题

求 $\mathrm{Cov}(X-Y,Y)$ → 用双线性 $\mathrm{Cov}(X,Y)-\mathrm{Cov}(Y,Y)$，其中 $\mathrm{Cov}(Y,Y)=D(Y)$。坑：$\mathrm{Cov}(X,Y)=0$ 不等于独立；本题结果 $-\frac{2}{3}=-D(Y)$。

本题考查由联合分布求概率与协方差。

（Ⅰ）满足 $X=2Y$ 的取值组合为 $(X,Y)=(0,0)$（概率 $\frac{1}{4}$）与 $(2,1)$（概率 $0$）。故 $P\{X=2Y\}=\frac{1}{4}+0=\frac{1}{4}$。

（Ⅱ）由联合分布求边缘及 $XY$ 的分布：$X\sim \{0:\frac{1}{2},1:\frac{1}{3},2:\frac{1}{6}\}$，$Y\sim \{0:\frac{1}{3},1:\frac{1}{3},2:\frac{1}{3}\}$，$XY\sim \{0:\frac{7}{12},1:\frac{1}{3},4:\frac{1}{12}\}$。

计算 $E(X)=\frac{2}{3}$，$E(Y)=1$，$E(Y^2)=\frac{5}{3}\Rightarrow D(Y)=\frac{2}{3}$；$E(XY)=\frac{2}{3}$，故 $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}=0$。

由双线性性 $\mathrm{Cov}(X-Y,Y)=\mathrm{Cov}(X,Y)-\mathrm{Cov}(Y,Y)=0-D(Y)=-\frac{2}{3}$。