2012 年考研数学（三） 第 23 题

两独立变量的 $\min /\max$ → $F_{\min }=1-[1-F{]}^2$、$F_{\max }=F^2$；求 $E(U+V)$ 用 $\max +\min =X+Y$ 一步到位。坑：$\min$ 用“都大于”取补；$E(U+V)$ 别去硬积分 $U$，用恒等式最快。

本题考查两独立变量的 $\min$ 分布与期望。 $X,Y\sim E(1)$，分布函数 $F(t)=1-e^{-t}(t\ge 0)$。

（Ⅰ）$F_V(v)=P\{\min \le v\}=1-P\{X>v,Y>v\}=1-[1-F(v){]}^2$。当 $v\ge 0$ 时 $=1-e^{-2v}$，$v<0$ 时为 $0$。求导得 $f_V(v)=2e^{-2v}(v>0)$，否则 $0$，即 $V\sim E(2)$。

（Ⅱ）关键恒等式 $U+V=\max \{X,Y\}+\min \{X,Y\}=X+Y$。故 $E(U+V)=E(X)+E(Y)=1+1=2$。

（也可由 $U$ 的密度 $f_U(u)=2e^{-u}(1-e^{-u})(u>0)$ 算 $E(U)=\frac{3}{2}$，$E(V)=\frac{1}{2}$，和为 $2$。）