2011 年考研数学（三）第 3 题

选择题 · 4 分

设

{u_{n}}

是数列，则下列命题正确的是（　　）

A若 $n = 1 \sum \infty u_{n}$ 收敛，则 $n = 1 \sum \infty (u_{2 n - 1} + u_{2 n})$ 收敛
B若 $n = 1 \sum \infty (u_{2 n - 1} + u_{2 n})$ 收敛，则 $n = 1 \sum \infty u_{n}$ 收敛
C若 $n = 1 \sum \infty u_{n}$ 收敛，则 $n = 1 \sum \infty (u_{2 n - 1} - u_{2 n})$ 收敛
D若 $n = 1 \sum \infty (u_{2 n - 1} - u_{2 n})$ 收敛，则 $n = 1 \sum \infty u_{n}$ 收敛

提示 1

级数收敛 ⇔ 部分和数列

{S_{n}}

收敛；注意

\sum (u_{2 n - 1} + u_{2 n})

的部分和

= S_{2 n}

。

提示 2

收敛数列的子列必收敛 → (A) 对；但加括号后收敛推不回原级数。

提示 3

其余选项用

u_{n} = (- 1)^{n}

或

u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n}

举反例。

答案与详解

答案 A

思路（为什么这么做）

判「级数加/拆括号」命题 → 化为部分和子列问题：收敛级数加括号仍收敛（子列），反之不成立。坑：

\sum (- 1)^{n}

、

\sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n}

是标准反例。

解答

本题考查级数收敛的本质（部分和收敛）与「加括号」性质。 设

S_{n} = u_{1} + \dots + u_{n}

。

(A) 正确：

\sum u_{n}

收敛即

{S_{n}}

收敛；而

\sum (u_{2 n - 1} + u_{2 n})

的前

n

项和恰为

S_{2 n}

，是

{S_{n}}

的子列，必收敛于同一极限——即「收敛级数可任意加括号」。

(B) 错：取

u_{n} = (- 1)^{n}

，

u_{2 n - 1} + u_{2 n} = 0

，

\sum 0

收敛但

\sum (- 1)^{n}

发散。(C)(D) 错：取

u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n}

，

\sum u_{n}

收敛，但

\sum (u_{2 n - 1} - u_{2 n}) = \sum (\frac{1}{2 n - 1} + \frac{1}{2 n})

发散（否定 (C)）；类似可否定 (D)。选 A。

2011 年考研数学（三） 第 3 题