2011 年考研数学（三） 第 2 题

条件只给「某点可导」→ 用导数定义（非洛必达）。坑：$\frac{f(x^3)}{x^3}$ 要换元 $t=x^3$ 才看清也是 $f^{\prime }(0)$；系数 $-2$ 别漏。

本题考查导数定义在极限中的运用。 $f$ 只在 $x=0$ 可导（未必二阶可导），不能用洛必达，须回到定义 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=f^{\prime }(0)$。

拆项：$\frac{x^{2}f(x)-2f(x^3)}{x^3}=\frac{f(x)}{x}-2\cdot \frac{f(x^3)}{x^3}$。

由 $f(0)=0$：$\lim \frac{f(x)}{x}=f^{\prime }(0)$；令 $t=x^3\to 0$，$\lim \frac{f(x^3)}{x^3}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(t)}{t}=f^{\prime }(0)$。故原式 $=f^{\prime }(0)-2f^{\prime }(0)=-f^{\prime }(0)$。选 B。