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2011 年考研数学（三）第 1 题

选择题 · 4 分

已知当

x \to 0

时，函数

f (x) = 3 sin x - sin 3 x

与

c x^{k}

是等价无穷小量，则（　　）

A $k = 1, c = 4$
B $k = 1, c = - 4$
C $k = 3, c = 4$
D $k = 3, c = - 4$

提示 1

遇到「

sin

的线性组合求等价无穷小」，先各自泰勒展开到出现非零最低次项。

提示 2

sin 3 x

的三次项系数是

\frac{3 ^{3}}{6} = \frac{9}{2}

，别忘了乘

3^{3}

。

提示 3

一次项

3 x

恰好抵消，最低次为

x^{3}

，其系数即

c

、次数即

k

。

答案与详解

答案 C

思路（为什么这么做）

看到「三角函数线性组合与

c x^{k}

等价无穷小」→ 各项泰勒展开，取低次相消后首个非零幂。坑：

sin 3 x

三次项系数要乘

3^{3}

，一次项抵消后才露出

x^{3}

。

解答

本题考查等价无穷小与泰勒展开定阶。 要把

3 sin x - sin 3 x

展成

x

的幂，找非零最低次项即定出

k, c

。

麦克劳林展开：

sin x = x - \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3})

，

sin 3 x = 3 x - \frac{( 3 x ) ^{3}}{6} + o (x^{3}) = 3 x - \frac{9}{2} x^{3} + o (x^{3})

。

于是

3 sin x - sin 3 x = (3 x - \frac{1}{2} x^{3}) - (3 x - \frac{9}{2} x^{3}) + o (x^{3}) = 4 x^{3} + o (x^{3})

，与

4 x^{3}

等价，即

k = 3, c = 4

。选 C。

考点：等价无穷小替换、泰勒公式、无穷小与无穷大、阶的比较

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