2010 年考研数学（三） 第 9 题

变限积分方程求某点 $y^{\prime }$ → 三步：先代入该点求 $y$ 值，再两边对 $x$ 求导（上限含 $x+y$ 要乘 $1+y^{\prime }$），最后代入点值解出。坑：右端 ${\int }_0^{x}x\sin t^{2}dt$ 的 $x$ 是常数要提出，求导时用乘积法则别漏 $x\sin x^2$。

本题考查变限积分求导 + 隐函数在一点求导。 先定 $x=0$ 处的 $y$。

$x=0$ 时右端 $=0$，左端 ${\int }_0^y{\mathrm{e}}^{-t^2}dt=0$，故 $y=0$。注意右端 $x$ 与 $t$ 无关，可提出：${\int }_0^{x+y}{\mathrm{e}}^{-t^2}dt=x{\int }_0^x\sin t^{2}dt$。

两边对 $x$ 求导：${\mathrm{e}}^{-(x+y{)}^2}(1+y^{\prime })={\int }_0^x\sin t^{2}dt+x\sin x^2$。代入 $x=0,y=0$：左 $=1\cdot (1+y^{\prime })$，右 $=0$，得 $1+y^{\prime }=0$，故 $y^{\prime }{|}_{x=0}=-1$。