2010 年考研数学（三） 第 10 题

曲线绕 $x$ 轴转、被积含 $\frac{1}{x}$ 与 $\ln x$ → 用 $V=\pi \int y^{2}dx$ 并令 $u=\ln x$ 凑成 $\int \frac{du}{1+u^2}=\arctan u$。坑：这是反常积分，上限取极限 $\arctan (+\infty )=\frac{\pi }{2}$，下限 $\ln \mathrm{e}=1$ 给 $\frac{\pi }{4}$。

本题考查旋转体体积（反常积分）。 绕 $x$ 轴：$V=\pi {\int }_{\mathrm{e}}^{+\infty }{y}^{2}dx=\pi {\int }_{\mathrm{e}}^{+\infty }\frac{dx}{x(1+{\ln }^{2}x)}$。

凑微分 $\frac{dx}{x}=d(\ln x)$：$V=\pi {\int }_{\mathrm{e}}^{+\infty }\frac{d(\ln x)}{1+{\ln }^{2}x}=\pi \arctan (\ln x){|}_{\mathrm{e}}^{+\infty }$。

$=\pi \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{{\pi }^2}{4}$。