2010 年考研数学（三） 第 11 题

给「收益/需求弹性」求原函数 → 弹性 $\frac{p}{R}{R}^{\prime }$ 写成微分方程，分离变量积分。坑：$\int (\frac{1}{p}+p^2)dp=\ln p+\frac{p^3}{3}$，指数还原后别忘用初值 $R(1)=1$ 把常数并进 ${\mathrm{e}}^{(p^3-1)/3}$。

本题考查收益弹性的定义 + 解一阶可分离变量方程（经济应用）。 收益弹性 $\frac{p}{R}\frac{dR}{dp}=1+p^3$。

分离变量：$\frac{dR}{R}=\left(\frac{1}{p}+p^2\right)dp$，积分得 $\ln R=\ln p+\frac{p^3}{3}+C_1$，即 $R=Cp{\mathrm{e}}^{p^3/3}$。

由 $R(1)=1$：$1=C\cdot 1\cdot {\mathrm{e}}^{1/3}$，$C={\mathrm{e}}^{-1/3}$。故 $R(p)=p{\mathrm{e}}^{\frac{1}{3}(p^3-1)}$。