2010 年考研数学（三） 第 8 题

分段拼接的函数要当密度 → 用 $\int f=1$，逐段积分。坑：正态只取半支积分是 $\frac{1}{2}$（对称性）；均匀密度值是 $\frac{1}{3-(-1)}=\frac{1}{4}$，且积分区间被 $x>0$ 截成 $[0,3]$。

本题考查密度函数的规范性 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$。 分段积分。

标准正态关于 $0$ 对称，${\int }_{-\infty }^0{f}_1(x)dx=\frac{1}{2}$，故 $a{\int }_{-\infty }^0{f}_{1}dx=\frac{a}{2}$。均匀密度 $f_2(x)=\frac{1}{4}(-1\le x\le 3)$，$b{\int }_0^{+\infty }{f}_{2}dx=b{\int }_0^3\frac{1}{4}dx=\frac{3b}{4}$。

于是 $\frac{a}{2}+\frac{3b}{4}=1$，即 $2a+3b=4$，选 A。